1æquilibrium D cum G coëxtenſo K L, ſi igitur
adderetur æquè graue per totam CK adhuc
faceret æquilibrium, quia in BC & BK æ
quales ſunt, & tunc eſſet proportio ponde
ris D ad pondus KL, ſicut ponderis LC, ad
pondus CK, ex ſecunda proportione permu
tata, igitur vt longitudinis LC ad CK, quia
pondus eſt æqualiter diſtributum. Sed ſicut
ponderis D ad pondus LK, ſic D ad G, quia
ſuppoſitum eſt G & LK æqualia eſſe, igitur
vt LC ad CK, ſic MB ad BC: quare permu
tando vt CK ad CB, ſic LC ad MB: ſed CB
eſt dimidium CK: igitur BM eſt dimidium
LC, quod erat demonſtrandum. Quia verò
CB eſt dimidium CK, & BM dimidium
CL, ſequitur vt MK ſit dimidium KL, & ita
eſt ac ſi ſuſpenſum eſſet in medio loci cui
coextenditur. Vnumquodque igitur pondus,
iuxta Archimedem, quantumvis inæquale,
vt triangulum tantum affert grauitatis, coex
tenſum virgulæ, quantum ſi ſuſpendatur ex
centro in loco vbi centrum grauitatis ſe
cundum perpendiculum ſitum eſt. Hoc au
tem generaliter ſupponit, etiamſi pondus non
extendatur vſque ad aginam, ſed coex-ten
datur, gratia exempli per L F, & centrum
eius ſit in directo E, tunc dicit, eſt ac ſi ſuſ
penderetur in ipſo E. Ex his, vt in Arithme
ticis docuimus, colligitur ratio conficien
di ſtateras.
adderetur æquè graue per totam CK adhuc
faceret æquilibrium, quia in BC & BK æ
quales ſunt, & tunc eſſet proportio ponde
ris D ad pondus KL, ſicut ponderis LC, ad
pondus CK, ex ſecunda proportione permu
tata, igitur vt longitudinis LC ad CK, quia
pondus eſt æqualiter diſtributum. Sed ſicut
ponderis D ad pondus LK, ſic D ad G, quia
ſuppoſitum eſt G & LK æqualia eſſe, igitur
vt LC ad CK, ſic MB ad BC: quare permu
tando vt CK ad CB, ſic LC ad MB: ſed CB
eſt dimidium CK: igitur BM eſt dimidium
LC, quod erat demonſtrandum. Quia verò
CB eſt dimidium CK, & BM dimidium
CL, ſequitur vt MK ſit dimidium KL, & ita
eſt ac ſi ſuſpenſum eſſet in medio loci cui
coextenditur. Vnumquodque igitur pondus,
iuxta Archimedem, quantumvis inæquale,
vt triangulum tantum affert grauitatis, coex
tenſum virgulæ, quantum ſi ſuſpendatur ex
centro in loco vbi centrum grauitatis ſe
cundum perpendiculum ſitum eſt. Hoc au
tem generaliter ſupponit, etiamſi pondus non
extendatur vſque ad aginam, ſed coex-ten
datur, gratia exempli per L F, & centrum
eius ſit in directo E, tunc dicit, eſt ac ſi ſuſ
penderetur in ipſo E. Ex his, vt in Arithme
ticis docuimus, colligitur ratio conficien
di ſtateras.
Nunc ſolum demonſtrare oportet, quo
modo ſtatera perfecta eſſe poſſit: etſi in pre
cioſis mercibus mercatores libra vtantur. Sit
igitur ſtatera diuiſa tuo modo cum pondere
auxiliari, quod mobile eſt G, & æquiponi
deret G in F ipſi D, quia itaque D æqui
ponderat G in F, & etiam regulæ KL. Po
nantur enim N pars D, quæ facit æquilibrium
cum LK, & O pars reliqua D, quæ facit æqui
librium cum G. Igitur iuxta primam regulam pro
portio O ad G, vt FB ad BC. Proportio ve
rò N ad LK, & eſt vt LK ſuſpenſa in M, ex
tertia regula, vt L C ad CK ex ſecunda re
gula. Igitur ſtatuemus pondus N primò in
directo D, deinde facto æquilibrio additio
O ſemper eſt ſecundum proportionem ad G,
vt partis LB ad BC. Secundum igitur æqua
lia incrementa BL creſcet O, ſed N manet
idem ſemper: igitur ſecundum æqualia in
crementa partium B L creſcet D pondus.
Æqua igitur ſtatera fieret, ſi ad C apponantur
pondus faciens equilibrum cum LK: inde diuida
mus ſpatia ab agina ad L per æqualia. Sed
quia ipſi non apponunt pondus in C, neceſſarium
eſt vt prima nota, puta P, oſtendat etiam
pondus LK: vt ſi LK ponderis libras duas,
& D pondus duas libras æquet, nota primi
ponderis eſſet in K, exempli gratia: ſed quia
G poſitum in K, grauaret quantum quatuor
libræ, & præter id etiam LK grauitatem
efficit duarum librarum, igitur oporteret vt
D eſſet librarum ſex, igitur pondus eſſet li
brarum ſex, & oſtenderet tantùm quatuor.
Ob id faciemus primam notam quatuor li
brarum in P, nam & ibi C grauitatem effi
cit duarum librarum, & LK duarum alia
rum, igitur pondus D erit quatuor librarum,
quod faciet æquilibrium: igitur nota qua
tuor librarum primarum erit in P, & multò
minus ab agina diſtans, quàm reliquæ inter
ſe. At verò reliquæ inter ſe æquidiſtabunt,
vt ſi ſecunda fit in Q, tertia erit in H, &
quarta in M, & quinta in R, & ſexta in E:
ideoque poſito G in E, oſtendet libras vigin
tiquatuor. Manifeſtum eſt autem ex hoc,
quod commodum affert non leue, quò G
ſit pondus per ſe notum, id eſt, libra, vel bi
libra, vel trilibra.
modo ſtatera perfecta eſſe poſſit: etſi in pre
cioſis mercibus mercatores libra vtantur. Sit
igitur ſtatera diuiſa tuo modo cum pondere
auxiliari, quod mobile eſt G, & æquiponi
deret G in F ipſi D, quia itaque D æqui
ponderat G in F, & etiam regulæ KL. Po
nantur enim N pars D, quæ facit æquilibrium
cum LK, & O pars reliqua D, quæ facit æqui
librium cum G. Igitur iuxta primam regulam pro
portio O ad G, vt FB ad BC. Proportio ve
rò N ad LK, & eſt vt LK ſuſpenſa in M, ex
tertia regula, vt L C ad CK ex ſecunda re
gula. Igitur ſtatuemus pondus N primò in
directo D, deinde facto æquilibrio additio
O ſemper eſt ſecundum proportionem ad G,
vt partis LB ad BC. Secundum igitur æqua
lia incrementa BL creſcet O, ſed N manet
idem ſemper: igitur ſecundum æqualia in
crementa partium B L creſcet D pondus.
Æqua igitur ſtatera fieret, ſi ad C apponantur
pondus faciens equilibrum cum LK: inde diuida
mus ſpatia ab agina ad L per æqualia. Sed
quia ipſi non apponunt pondus in C, neceſſarium
eſt vt prima nota, puta P, oſtendat etiam
pondus LK: vt ſi LK ponderis libras duas,
& D pondus duas libras æquet, nota primi
ponderis eſſet in K, exempli gratia: ſed quia
G poſitum in K, grauaret quantum quatuor
libræ, & præter id etiam LK grauitatem
efficit duarum librarum, igitur oporteret vt
D eſſet librarum ſex, igitur pondus eſſet li
brarum ſex, & oſtenderet tantùm quatuor.
Ob id faciemus primam notam quatuor li
brarum in P, nam & ibi C grauitatem effi
cit duarum librarum, & LK duarum alia
rum, igitur pondus D erit quatuor librarum,
quod faciet æquilibrium: igitur nota qua
tuor librarum primarum erit in P, & multò
minus ab agina diſtans, quàm reliquæ inter
ſe. At verò reliquæ inter ſe æquidiſtabunt,
vt ſi ſecunda fit in Q, tertia erit in H, &
quarta in M, & quinta in R, & ſexta in E:
ideoque poſito G in E, oſtendet libras vigin
tiquatuor. Manifeſtum eſt autem ex hoc,
quod commodum affert non leue, quò G
ſit pondus per ſe notum, id eſt, libra, vel bi
libra, vel trilibra.
Centra autem ponderum in circulis &
rectangulis ſunt in communi ſectione di
metientium duarum. In omnibus autem
figuris æquilateris, quæ circulo poſſunt
inſcribi, centrum grauitatis idem eſt cum
centro circuli circumſcribentis. Supponitur
autem in omnibus, quòd ponderoſa hæc æ
qualem vbique habeant craſſitudinem, &
quòd ex materia quæ vbique æqualem ſor
tiatur grauitatem, conſtituantur. In trigonis
autem omnibus in communi ſectione trium
linearum, quarum ſingulæ ad ſingula latera
ex angulis oppoſitis venientes, ea per æqua
lia diuidunt. Has verò in vnum punctum
ſecando ſe inuicem concurrere neceſſe eſt:
etſi id Archimedes non demonſtrauerit.
Nos autem in Geometricis elementis illud
oſtendimus generaliter, nunc autem pro ne
ceſſitate declarabitur.
rectangulis ſunt in communi ſectione di
metientium duarum. In omnibus autem
figuris æquilateris, quæ circulo poſſunt
inſcribi, centrum grauitatis idem eſt cum
centro circuli circumſcribentis. Supponitur
autem in omnibus, quòd ponderoſa hæc æ
qualem vbique habeant craſſitudinem, &
quòd ex materia quæ vbique æqualem ſor
tiatur grauitatem, conſtituantur. In trigonis
autem omnibus in communi ſectione trium
linearum, quarum ſingulæ ad ſingula latera
ex angulis oppoſitis venientes, ea per æqua
lia diuidunt. Has verò in vnum punctum
ſecando ſe inuicem concurrere neceſſe eſt:
etſi id Archimedes non demonſtrauerit.
Nos autem in Geometricis elementis illud
oſtendimus generaliter, nunc autem pro ne
ceſſitate declarabitur.
Nam diuiſis per æqualia lateribus AB &
AC in D & E, & ducta CD, BE, & per
communem ſectionem AGH & DE, quæ
erit æquidiſtans lateri tertio, vnde BEC &
CDB erunt æquales, quia in eadem baſi
BC, ſubducto BCG, communi erit CEG æ
qualis DBC, ipſi autem ſunt æquales AGE
& AGD, quia in æquis baſibus & inter æ
quidiſtantes, quare AGE & AGD æquales.
19[Figure 19]
Quumque ſint ſuper eandem lineam AG,
erunt æqualis altitudinis, qui altitudo eſt tri
gonorum etiam FGD, & FGE, qui conſiſtunt
in eadem baſi FG, igitur etiam ipſi inter ſe
ſunt æquales, Quia verò BC æquidiſtat DE,
erunt ex 29 primi elementorum & 25. eiuſ
dem, DGE & BGC æquianguli, & propor
tio BG ad GE, vt CG ad GD. ex eiſdem
etiam BGH & GEF ſimiles, itemque GCH
& DGF. quare proportio trigoni BGH ad
EFG, vt BG ad GE dupla, & CGH ad DFG,
vt CG ad GD dupla, eſt autem ( vt dictum
fuit ) CG ad GD, vt BG, ad GE, quare BGH
ad EFG, yt HCG ad DFG: quare cum DFG
& EFG æquales ſint, erunt BGH & CGH
æquales: quumque ſint inter æquidiſtantes,
erunt in baſibus æqualibus BH & HC, igi
tur trigoni omnes ABH, ACH, CDB, CDA,
BEC, BEA, erunt, medietas ABC, quare ap
penſus trigonus in G, in nullam poterit par
tem inclinari. Centrum autem ſectionis pa
rabolę ſeu coni rectanguli eſt in eius dime
tiente, quæ à ſummo ad medium baſis in eo
puncto qui à ſummitate coni dimidio plus
diſtat quàm à baſi, quæ eſt recta linea ſup-
AC in D & E, & ducta CD, BE, & per
communem ſectionem AGH & DE, quæ
erit æquidiſtans lateri tertio, vnde BEC &
CDB erunt æquales, quia in eadem baſi
BC, ſubducto BCG, communi erit CEG æ
qualis DBC, ipſi autem ſunt æquales AGE
& AGD, quia in æquis baſibus & inter æ
quidiſtantes, quare AGE & AGD æquales.
19[Figure 19]Quumque ſint ſuper eandem lineam AG,
erunt æqualis altitudinis, qui altitudo eſt tri
gonorum etiam FGD, & FGE, qui conſiſtunt
in eadem baſi FG, igitur etiam ipſi inter ſe
ſunt æquales, Quia verò BC æquidiſtat DE,
erunt ex 29 primi elementorum & 25. eiuſ
dem, DGE & BGC æquianguli, & propor
tio BG ad GE, vt CG ad GD. ex eiſdem
etiam BGH & GEF ſimiles, itemque GCH
& DGF. quare proportio trigoni BGH ad
EFG, vt BG ad GE dupla, & CGH ad DFG,
vt CG ad GD dupla, eſt autem ( vt dictum
fuit ) CG ad GD, vt BG, ad GE, quare BGH
ad EFG, yt HCG ad DFG: quare cum DFG
& EFG æquales ſint, erunt BGH & CGH
æquales: quumque ſint inter æquidiſtantes,
erunt in baſibus æqualibus BH & HC, igi
tur trigoni omnes ABH, ACH, CDB, CDA,
BEC, BEA, erunt, medietas ABC, quare ap
penſus trigonus in G, in nullam poterit par
tem inclinari. Centrum autem ſectionis pa
rabolę ſeu coni rectanguli eſt in eius dime
tiente, quæ à ſummo ad medium baſis in eo
puncto qui à ſummitate coni dimidio plus
diſtat quàm à baſi, quæ eſt recta linea ſup-