1ſint directæ, & ſint trigoni per axem in eo
dem plano ABC, & ADE, & puncta præ
ter verticem ſignata in vno G, in altero H,
& planum K, per ambo puncta ad perpendi
culum ſuper ambos trigonos ductum, &
clarum eſt quòd facit duas hyperboles, quia
axes figurarum occurrunt extra trigonum
lateri oppoſito: quia tales ſunt in ambobus
planis, videlicet duorum triangulorum & K,
igitur illæ figuræ erunt ambæ hyperbo
les, & vocantur ab Apollonio contra
poſitæ.
dem plano ABC, & ADE, & puncta præ
ter verticem ſignata in vno G, in altero H,
& planum K, per ambo puncta ad perpendi
culum ſuper ambos trigonos ductum, &
clarum eſt quòd facit duas hyperboles, quia
axes figurarum occurrunt extra trigonum
lateri oppoſito: quia tales ſunt in ambobus
planis, videlicet duorum triangulorum & K,
igitur illæ figuræ erunt ambæ hyperbo
les, & vocantur ab Apollonio contra
poſitæ.
Ex his patet igitur, quòd omnes hæ fi
guræ conueniunt in hoc, quòd generantur
ex ſectione coni, aut conorum bifariam: per
planum ad perpendiculum erectum ſuper
ſuperficiem triangulorum, quòd non tran
ſeat per verticem coni: & quod latera ha
rum ſuperficierum ſunt lineæ obliquæ: &
quòd non poſſunt eſſe plures his quinque.
Omnibus igitur his quinque figuris com
mune eſt, vt cùm duæ quæ illas contangant
rectè in vnum coierint, ducta recta linea ex
concurſus loco vſque ad aduerſam figuræ
partem, vel in contrapoſitis, vſque ad rectam
lineam, quæ per puncta contactus ducitur,
proportionem totius lineæ ad partem, quæ
eſt extra obliquas, eſſe velut partium in
tra obliquas ad lineam quæ contactus pun
cta iungit terminatarum.
guræ conueniunt in hoc, quòd generantur
ex ſectione coni, aut conorum bifariam: per
planum ad perpendiculum erectum ſuper
ſuperficiem triangulorum, quòd non tran
ſeat per verticem coni: & quod latera ha
rum ſuperficierum ſunt lineæ obliquæ: &
quòd non poſſunt eſſe plures his quinque.
Omnibus igitur his quinque figuris com
mune eſt, vt cùm duæ quæ illas contangant
rectè in vnum coierint, ducta recta linea ex
concurſus loco vſque ad aduerſam figuræ
partem, vel in contrapoſitis, vſque ad rectam
lineam, quæ per puncta contactus ducitur,
proportionem totius lineæ ad partem, quæ
eſt extra obliquas, eſſe velut partium in
tra obliquas ad lineam quæ contactus pun
cta iungit terminatarum.
Cùm igitur (vt dictum eſt) tertium la
tus trigoni diuidentis conum per axem coni
neceſſariò occurrat, deductum axi hyperbo
lis extra conum, pars axis hyperbolis inter
verticem hyperbolis, & punctum concur
ſus, cum latere oppoſito trianguli vocatur
verſa, & punctus in medio verſæ centrum
hyperbolis. Et habes exemplum in quarta
figura. Nam A vocatur verſa, & L centrum
hiperbolis.
tus trigoni diuidentis conum per axem coni
neceſſariò occurrat, deductum axi hyperbo
lis extra conum, pars axis hyperbolis inter
verticem hyperbolis, & punctum concur
ſus, cum latere oppoſito trianguli vocatur
verſa, & punctus in medio verſæ centrum
hyperbolis. Et habes exemplum in quarta
figura. Nam A vocatur verſa, & L centrum
hiperbolis.
Sunt autem hyperboli tria maximè præ
cipua, quorum primum eſt, quòd in quaque
illius parte circumferentiæ duo puncta ſu
mantur, à quibus binæ, & binæ ad non tan
gentes rectæ lineæ deducantur mutuò inter
ſe æquidiſtantes, rectangula, contecta ab his
lineis, quæ ab imo eueniunt, atque ab his
quæ ab aliis punctis inuicem æqualia erunt.
Secundum eſt, quòd inuenire contingit duas
lineas in eodem plano, quarum altera erit
recta, reliqua latus hyperboles, quæ ſemper
ſibi inuicem magis approximabuntur, &
nunquam ſe tangent. Tertium ex ſecundo
pendet, quòd erit inuentu facilè, duas li
neas, quæ ſemper magis in eodem plano
approximabuntur, & quanquam etiam in
infinitum protraherentur, nunquam erunt
proximiores mille ſtadiis, gratia exempli.
Demonſtrato enim ſecundo, ſi ſumatur li
nea æquidiſtans rectæ ex aduerſa parte mil
le ſtadiis, patebit quod dictum eſt. Igitur
demonſtremus ſecundum, quod licet ab
Apollonio demonſtretur, volo tamen vti
demonſtratione Rabbi Moyſis Narbonen
ſis exponentis dictum Rabbi Moyſis Ægy
ptij, in libro cui titulus eſt, Directio dubi
tantium, quod erat: Quædam intelligi poſſe,
quæ imaginari nequeunt: vnde concludit,
quòd intellectus ab imaginatione differat,
non ſolùm ob nouitatem, ſed ob facilitatem
& pulchritudinem.
cipua, quorum primum eſt, quòd in quaque
illius parte circumferentiæ duo puncta ſu
mantur, à quibus binæ, & binæ ad non tan
gentes rectæ lineæ deducantur mutuò inter
ſe æquidiſtantes, rectangula, contecta ab his
lineis, quæ ab imo eueniunt, atque ab his
quæ ab aliis punctis inuicem æqualia erunt.
Secundum eſt, quòd inuenire contingit duas
lineas in eodem plano, quarum altera erit
recta, reliqua latus hyperboles, quæ ſemper
ſibi inuicem magis approximabuntur, &
nunquam ſe tangent. Tertium ex ſecundo
pendet, quòd erit inuentu facilè, duas li
neas, quæ ſemper magis in eodem plano
approximabuntur, & quanquam etiam in
infinitum protraherentur, nunquam erunt
proximiores mille ſtadiis, gratia exempli.
Demonſtrato enim ſecundo, ſi ſumatur li
nea æquidiſtans rectæ ex aduerſa parte mil
le ſtadiis, patebit quod dictum eſt. Igitur
demonſtremus ſecundum, quod licet ab
Apollonio demonſtretur, volo tamen vti
demonſtratione Rabbi Moyſis Narbonen
ſis exponentis dictum Rabbi Moyſis Ægy
ptij, in libro cui titulus eſt, Directio dubi
tantium, quod erat: Quædam intelligi poſſe,
quæ imaginari nequeunt: vnde concludit,
quòd intellectus ab imaginatione differat,
non ſolùm ob nouitatem, ſed ob facilitatem
& pulchritudinem.
Sit igitur conus ABCD: nunc triangu
lum nullum ſecantem intelligo. Sed per
A B D, intelligo connexam coni ſuperfi
ciem, in qua protraho AC, à vertice, vſque
ad baſim. Et ſit K plana ſuperficies contan
gens conum in recta linea AC: quæ ſuperfi
cies intelligatur in infinitum cum coni ſu
perficie extendi. Dico primò, hanc ſuperficiem
planam non poſſe tangere coni ſuperficiem
alibi, quàm in linea AC: quòd ſi poteſt, tan
gat in G, & duco circulum æquidiſtantem
per G baſi BCD: cùm igitur circulus ſit in
vna ſuperficie, erunt puncta contactus plani
K, & periferiæ circuli illius in vna recta linea
ex demonſtratis in vndecimo elementorum
Euclidis. Quamobrem cùm illa linea iam
tangat circuli periferiam in linea AC, ca
det ex demonſtratis ab Euclide in tertio ele
mentorum extra circumferentiam circuli
VXG, igitur non tanget illum in puncto G.
Aſſumo igitur E F rectam æquidiſtantiam
AC, in ſuperficie K, & adeò propinquam
rectæ AC, vt ſuperficies H ducta ad per
pendiculum ſuper ſuperficiem K, ſecet co
num, & illius ſuperficiem in punctis, puta S
& G, & palam eſt ex dictis, partem ſuper
ficiei ex H, cono incluſam eſſe hyperbolem,
& lineam G S, quæ eſt in coni ſuperficie,
eſſe latus hyperbolis. Conſtat igitur iam
latus hyperbolis GS eſſe in ſuperficie eadem
cum linea EF, ſcilicet in ſuperficie H: &
100[Figure 100]
quòd iſtæ duæ lineæ cùm ſint in eodem pla
no H, nunquam ſe tangent: ſi enim ſe tan
gent, vel in linea AC, & ita AC, & EF
æquidiſtantes concurrent, quòd includit
contradictionem: vel extra lineam A C,
& ita cùm G S ſemper ſit in ſuperficie coni
& EF ſemper in ſuperficie K, igitur K, tange
ret conum extra lineam AC, cuius iam op
poſitum demonſtrauimus. Dico modò, quòd
cùm EF recta, & GS latus hyperbolis ſint
in eadem ſuperficie H, & protractæ in infi
nitum nunquam conueniunt, quòd ſem
per vt magis à vertice coni elongantur,
lum nullum ſecantem intelligo. Sed per
A B D, intelligo connexam coni ſuperfi
ciem, in qua protraho AC, à vertice, vſque
ad baſim. Et ſit K plana ſuperficies contan
gens conum in recta linea AC: quæ ſuperfi
cies intelligatur in infinitum cum coni ſu
perficie extendi. Dico primò, hanc ſuperficiem
planam non poſſe tangere coni ſuperficiem
alibi, quàm in linea AC: quòd ſi poteſt, tan
gat in G, & duco circulum æquidiſtantem
per G baſi BCD: cùm igitur circulus ſit in
vna ſuperficie, erunt puncta contactus plani
K, & periferiæ circuli illius in vna recta linea
ex demonſtratis in vndecimo elementorum
Euclidis. Quamobrem cùm illa linea iam
tangat circuli periferiam in linea AC, ca
det ex demonſtratis ab Euclide in tertio ele
mentorum extra circumferentiam circuli
VXG, igitur non tanget illum in puncto G.
Aſſumo igitur E F rectam æquidiſtantiam
AC, in ſuperficie K, & adeò propinquam
rectæ AC, vt ſuperficies H ducta ad per
pendiculum ſuper ſuperficiem K, ſecet co
num, & illius ſuperficiem in punctis, puta S
& G, & palam eſt ex dictis, partem ſuper
ficiei ex H, cono incluſam eſſe hyperbolem,
& lineam G S, quæ eſt in coni ſuperficie,
eſſe latus hyperbolis. Conſtat igitur iam
latus hyperbolis GS eſſe in ſuperficie eadem
cum linea EF, ſcilicet in ſuperficie H: &
100[Figure 100]quòd iſtæ duæ lineæ cùm ſint in eodem pla
no H, nunquam ſe tangent: ſi enim ſe tan
gent, vel in linea AC, & ita AC, & EF
æquidiſtantes concurrent, quòd includit
contradictionem: vel extra lineam A C,
& ita cùm G S ſemper ſit in ſuperficie coni
& EF ſemper in ſuperficie K, igitur K, tange
ret conum extra lineam AC, cuius iam op
poſitum demonſtrauimus. Dico modò, quòd
cùm EF recta, & GS latus hyperbolis ſint
in eadem ſuperficie H, & protractæ in infi
nitum nunquam conueniunt, quòd ſem
per vt magis à vertice coni elongantur,