1quod eò magis fiunt proximæ.
Et ſufficiat
demonſtraſſe de vno, vtpote quòd G & M,
ſint propinquiores, quàm S & T: nam tunc
patebit quòd vbi magis procedent illæ duæ
lineæ, erunt eò proximiores. Capiatur igi
tur gratia exempli circulus PSQ, & duca
tur TSR, ita quòd perueniat ad oppoſitam
circumferentiæ partem: & ſimiliter duca
tur M G N in ſuperficie H, ita quòd G N,
perueniat ad circumferentiam circuli VGX:
& ducantur rectè LT, & OM in ſuperficie
H, quæ contangent circulos QLP, & XOV,
quia ducuntur ex loco contactus: & quia
O & M, ſunt in ſuperficie circuli OXV,
nam M eſt terminus lineæ NM, quæ eſt in
ſuperficie circuli OXV, erit linea OM, in
ſuperficie eiuſdem circuli, & ita LT in
ſuperficie circuli P L que Sed tales ſuperfi
cies æquidiſtant, quia ambæ à baſi circuli:
& ſunt lineæ OM & LT, in ſuperficie K,
ambæ: igitur æquidiſtantes. Et iam LO
& TM æquidiſtant, ſunt enim partes æqui
diſtantium, igitur LT, & OM ſunt æqua
les. Et cùm contangant circulos PLQ, &
VOX, igitur ex demonſtratis ab Euclide
in 3.Elementorum quadratum TL, eſt æqua
le ei quod fit ex TR in TS, & quadratum
OM eſt æquale ei quod fit ex MN in MG
& quadratum TL, eſt æquale quadrato
OM, igitur quòd fit ex TR in TS, eſt æqua
le ei quod fit ex MN in M G. Igitur ex de
monſtratis 6.Elementorum ab Euclide pro
portio ST ad GM, eſt vt MN ad TR. Sed
MN maior eſt TR, quia ſi duceretur per N,
ſuperficies æquidiſtans ipſum N, caderet
infra R, aliter occurreret K, quia diameter
QP, eſt minor XV, & ſuperficies circulorum
ſunt æquidiſtantes, igitur ST maior eſt GM.
Ducuntur igitur S Y & G Z, ad perpendi
culum ſuper EF, & erunt anguli SYT, &
GZM æquales quia recti. Similiter anguli
STY, & GMZ æquales ſunt, quia ST, &
GM ſunt æquidiſtantes, ſunt enim ambæ in
ſuperficie eadem, quæ eſt H, & in duabus
ſuperficiebus æquidiſtantibus circulorum:
igitur ex 32. primi elementorum trigoni
STY, & GMZ, ſunt æqualium angulorum,
quare per quartam ſexti eiuſdem proportio
ST ad GM, vt SY ad GZ. Sed ST vt pro
batum eſt, maior eſt GM, igitur S Y maior
GZ. Sed SY eſt minima quæ poſſit duci ex
puncto S, ad lineam EF, quia ad perpendi
culum eò quòd omnis alia ducta ab eodem
puncto, ad lineam EF, ex quauis parte op
ponitur maiori angulo quàm SY: quia op
poneretur recto, igitur punctus G, eſt proxi
mior lineæ EF, quàm punctus S,
quòd erat demonſtrandum. Ple
rique deficiunt in hac vltima
parte, admittentes paralogiſ
mum. Feci igitur conum ex ra
pa, vt conſulit Rabbi Moyſes,
& feci ſuperficies K & H, ex pa
pyro, & inſcriptis lineis A C,
EF, SG, viſæ ſunt non concur
rentes, vt à latere vides. Sed eas
niſi ea arte inuentas difficile eſt
deſcribere.
demonſtraſſe de vno, vtpote quòd G & M,
ſint propinquiores, quàm S & T: nam tunc
patebit quòd vbi magis procedent illæ duæ
lineæ, erunt eò proximiores. Capiatur igi
tur gratia exempli circulus PSQ, & duca
tur TSR, ita quòd perueniat ad oppoſitam
circumferentiæ partem: & ſimiliter duca
tur M G N in ſuperficie H, ita quòd G N,
perueniat ad circumferentiam circuli VGX:
& ducantur rectè LT, & OM in ſuperficie
H, quæ contangent circulos QLP, & XOV,
quia ducuntur ex loco contactus: & quia
O & M, ſunt in ſuperficie circuli OXV,
nam M eſt terminus lineæ NM, quæ eſt in
ſuperficie circuli OXV, erit linea OM, in
ſuperficie eiuſdem circuli, & ita LT in
ſuperficie circuli P L que Sed tales ſuperfi
cies æquidiſtant, quia ambæ à baſi circuli:
& ſunt lineæ OM & LT, in ſuperficie K,
ambæ: igitur æquidiſtantes. Et iam LO
& TM æquidiſtant, ſunt enim partes æqui
diſtantium, igitur LT, & OM ſunt æqua
les. Et cùm contangant circulos PLQ, &
VOX, igitur ex demonſtratis ab Euclide
in 3.Elementorum quadratum TL, eſt æqua
le ei quod fit ex TR in TS, & quadratum
OM eſt æquale ei quod fit ex MN in MG
& quadratum TL, eſt æquale quadrato
OM, igitur quòd fit ex TR in TS, eſt æqua
le ei quod fit ex MN in M G. Igitur ex de
monſtratis 6.Elementorum ab Euclide pro
portio ST ad GM, eſt vt MN ad TR. Sed
MN maior eſt TR, quia ſi duceretur per N,
ſuperficies æquidiſtans ipſum N, caderet
infra R, aliter occurreret K, quia diameter
QP, eſt minor XV, & ſuperficies circulorum
ſunt æquidiſtantes, igitur ST maior eſt GM.
Ducuntur igitur S Y & G Z, ad perpendi
culum ſuper EF, & erunt anguli SYT, &
GZM æquales quia recti. Similiter anguli
STY, & GMZ æquales ſunt, quia ST, &
GM ſunt æquidiſtantes, ſunt enim ambæ in
ſuperficie eadem, quæ eſt H, & in duabus
ſuperficiebus æquidiſtantibus circulorum:
igitur ex 32. primi elementorum trigoni
STY, & GMZ, ſunt æqualium angulorum,
quare per quartam ſexti eiuſdem proportio
ST ad GM, vt SY ad GZ. Sed ST vt pro
batum eſt, maior eſt GM, igitur S Y maior
GZ. Sed SY eſt minima quæ poſſit duci ex
puncto S, ad lineam EF, quia ad perpendi
culum eò quòd omnis alia ducta ab eodem
puncto, ad lineam EF, ex quauis parte op
ponitur maiori angulo quàm SY: quia op
poneretur recto, igitur punctus G, eſt proxi
mior lineæ EF, quàm punctus S,
quòd erat demonſtrandum. Ple
rique deficiunt in hac vltima
parte, admittentes paralogiſ
mum. Feci igitur conum ex ra
pa, vt conſulit Rabbi Moyſes,
& feci ſuperficies K & H, ex pa
pyro, & inſcriptis lineis A C,
EF, SG, viſæ ſunt non concur
rentes, vt à latere vides. Sed eas
niſi ea arte inuentas difficile eſt
deſcribere.
101[Figure 101]
Defectionis duo ſunt priuilegia: primum
quòd proportio eius ad circuli ſuperficiem
eſt, velut rectanguli diametrorum defectio
nis ad rectangulum diametrorum circuli,
quod eſt quadratum. Secundum ex hoc du
cit originem, quòd proportio defectionis ad
defectionem eſt, velut rectangulorum ſub
diametris earum propriis contentorum.
quòd proportio eius ad circuli ſuperficiem
eſt, velut rectanguli diametrorum defectio
nis ad rectangulum diametrorum circuli,
quod eſt quadratum. Secundum ex hoc du
cit originem, quòd proportio defectionis ad
defectionem eſt, velut rectangulorum ſub
diametris earum propriis contentorum.
Paraboles autem priuilegia ſex propria
ſunt. Primùm, ratio axis partium, in ea eſt,
vt deductarum ex ipſis punctis perpendicu
larium ad paraboles circumferentiam dupli
cata. Secundum, cùm fuerit ipſa perpendi
cularis æqualis axis parti, quæ ad verticem
ab extremo eiuſdem perpendicularis termi
nabitur, vocabitur ipſa perpendicularis la
tus rectum Paraboles, erítque hæc ſemper
talem habens proportionem ex axe ad cir
cumferentiam, qualis eſt perpendicularis ip
ſius ad partem axis, quæ ipſam perpendicu
larem, & verticem ſectionis interiacet: vo
cantur verò hæ lineæ perpendiculares ordi
natæ. Manifeſtum eſt igitur, quòd cuilibet
parti axis Paraboles, ac ſuæ perpendiculari
ſemper eadem linea in continua proportio
ne ſubtenditur. Tertium, quòd ſi in ea pun
ctus præter axem ſignetur, ab hoc contin
gens ducatur, huic verò æquidiſtantes plu
rimæ à circumferentia ad circumferentiam
ducta ex eodem puncto contactus æquidi
ſtans axi, omnes lineas æquidiſtantes à
contingenti ductas per æqualia ſecabit. Por
tiones quoque quomodolibet ſumptæ, æqua
les habentes diametros, etiam æquales ſunt.
Ipſa verò ſuperficies æqualis eſt rectangu
lo ex tota baſi in duas è tribus axis partes.
Sextum, cùm tres contingentes periferiam
Paraboles concidunt, duas quidem extremas,
media ſecante, erit proportio partium trium
linearum vna, ſcilicet partis inferioris ad
ſuperiorem, & ſuperioris alterius ad infe
riorem, & mediæ illarum, quæ ad perife
riam Paraboles terminantur.
ſunt. Primùm, ratio axis partium, in ea eſt,
vt deductarum ex ipſis punctis perpendicu
larium ad paraboles circumferentiam dupli
cata. Secundum, cùm fuerit ipſa perpendi
cularis æqualis axis parti, quæ ad verticem
ab extremo eiuſdem perpendicularis termi
nabitur, vocabitur ipſa perpendicularis la
tus rectum Paraboles, erítque hæc ſemper
talem habens proportionem ex axe ad cir
cumferentiam, qualis eſt perpendicularis ip
ſius ad partem axis, quæ ipſam perpendicu
larem, & verticem ſectionis interiacet: vo
cantur verò hæ lineæ perpendiculares ordi
natæ. Manifeſtum eſt igitur, quòd cuilibet
parti axis Paraboles, ac ſuæ perpendiculari
ſemper eadem linea in continua proportio
ne ſubtenditur. Tertium, quòd ſi in ea pun
ctus præter axem ſignetur, ab hoc contin
gens ducatur, huic verò æquidiſtantes plu
rimæ à circumferentia ad circumferentiam
ducta ex eodem puncto contactus æquidi
ſtans axi, omnes lineas æquidiſtantes à
contingenti ductas per æqualia ſecabit. Por
tiones quoque quomodolibet ſumptæ, æqua
les habentes diametros, etiam æquales ſunt.
Ipſa verò ſuperficies æqualis eſt rectangu
lo ex tota baſi in duas è tribus axis partes.
Sextum, cùm tres contingentes periferiam
Paraboles concidunt, duas quidem extremas,
media ſecante, erit proportio partium trium
linearum vna, ſcilicet partis inferioris ad
ſuperiorem, & ſuperioris alterius ad infe
riorem, & mediæ illarum, quæ ad perife
riam Paraboles terminantur.
Paraboles
priuilegia 6
priuilegia 6
Spiralis autem lineæ priuilegia ſex etiam
ſunt. Primum quidem, quòd ducta contin
gens ex fine illius occurrit perpendiculari ex
initio, ſemper tantum abſcindens ex contin
genti, vt proportionem habeat ad circuli ſub
eodem ordine periferiam, ſecundum ordinem
ſeriei numerorum. Vnde patet, quòd portio
primæ ſpiralis ex perpendiculari, erit æqua
lis periferiæ primi circuli, & portio perpen
dicularis ex ſecunda ſpirali dupla circuli ſe
cundi periferiæ, & portio ex tertia ſpirali
tripla circuli tertij periferiæ, atque ita dein
ceps. Secundum, ex quocunque puncto pri
mæ ſpiralis educta contingens, occurrit
perpendiculari ex initio eiuſdem dimetien
tis ductæ, tantam ex illa abſcindens par
tem, quanta eſt portio circumferentiæ cir
culi, cuius ſemidiameter eſt linea ex initio
lineæ ſpiralis, vſque ad punctum contin
gentis, clauſa inter primam lineam rectam
ſpiralis, quæ moueri intelligitur, & locum
ad quem per motum peruenerit ipſa ſpi
ralis è directo loci contingentis. Eſtque
tertium priuilegium, quòd ſpatia ſpira
lium ita ſe habent: primùm quidem vni
tatis, ſecundum ſenarij, tertium duodena
rij, quartum decemocto, atque ita deinceps
additione perpetua per ſenarium facta.
Quartum proportio cuiuſlibet circuli, ad
ſunt. Primum quidem, quòd ducta contin
gens ex fine illius occurrit perpendiculari ex
initio, ſemper tantum abſcindens ex contin
genti, vt proportionem habeat ad circuli ſub
eodem ordine periferiam, ſecundum ordinem
ſeriei numerorum. Vnde patet, quòd portio
primæ ſpiralis ex perpendiculari, erit æqua
lis periferiæ primi circuli, & portio perpen
dicularis ex ſecunda ſpirali dupla circuli ſe
cundi periferiæ, & portio ex tertia ſpirali
tripla circuli tertij periferiæ, atque ita dein
ceps. Secundum, ex quocunque puncto pri
mæ ſpiralis educta contingens, occurrit
perpendiculari ex initio eiuſdem dimetien
tis ductæ, tantam ex illa abſcindens par
tem, quanta eſt portio circumferentiæ cir
culi, cuius ſemidiameter eſt linea ex initio
lineæ ſpiralis, vſque ad punctum contin
gentis, clauſa inter primam lineam rectam
ſpiralis, quæ moueri intelligitur, & locum
ad quem per motum peruenerit ipſa ſpi
ralis è directo loci contingentis. Eſtque
tertium priuilegium, quòd ſpatia ſpira
lium ita ſe habent: primùm quidem vni
tatis, ſecundum ſenarij, tertium duodena
rij, quartum decemocto, atque ita deinceps
additione perpetua per ſenarium facta.
Quartum proportio cuiuſlibet circuli, ad