1generis quantitatibus.
Indicio autem pa
ralogiſmi eſt falſi experimentum in conclu
ſione vel mediis, aut deprehenſio alicuius de
fectus ex his dictis. Sed maior parologiſmus
ac difficilior oritur in diuerſo genere: velut
capio circulum ABC, & ducta CDA per
centrum, & CE CK, CB æqualiter altera ab
altera diſtantibus, itemque CG ab altera parte
tunc anguli CBL, CKL, CEL, CAL perife
ria, & recta contenti ſunt acuti: quod facilè
demonſtratur ductis gratia exempli D E ex
centro, & EF contingente, tunc FED rectus
eſt: ſed CEL minor DEF, angulo DEC, &
angulo contactus FEK, igitur CEL eſt acu
tus: ſimiliter CAL acutus eſt, ex demonſtra
tis ab Euclide in 3 libro, & tamen maior
CEL, vt CEL maior CKL, & CKL eſt ma
ior CBL: quod patet, quia deficiunt omnes
angulis contactus, qui ſunt æquales, vt à no
bis demonſtratum eſt in tertio noſtrorum
Elementorum: & deficiunt, etiam angulo re
ctilineo contento à ſemidiametro, & lineis
CB, CK, CE, qui vt magis remouentur di
ctæ lineæ à linea CA, ſemper ſunt maiores:
ergo ex communi animi ſententia angulus
CBL minor eſt angulo CKL, & angulus
CKL angulo CEL, & CEL angulo CAL.
Sed angulus CGA maior eſt recto: ducta
enim GH contangente, & DG ſemidiame
tro, fiet DGH rectus ex demonſtratis ab
Euclide (vt dixi) in tertio Elementorum, &
angulus DGC eſt maior angulo contactus,
vt ibi infertur pro corollario: igitur detra
cto ab angulo DGH recto angulo contactus
107[Figure 107]
& addito DGC, cum fiat angulus CGL
erit ex communi animi ſententia CGL ob
tuſus. Igitur linea CB tranſeunte ſenſim ex
B vſque ad G, anguli periferia, & recta con
tenti ſemper augebuntur, & ſenſim & per
omne genus magnitudinis vſque ad obtu
ſum, vt patet: & tamen nunquam fiet rectus,
vt demonſtratum eſt, quia in A, & ante A
ſemper eſt acutus, poſt A obtuſus: igitur pa
tet intentum. Maior hæc fit paralogiſmus in
diuerſo genere, & talis eſt. Aliqua quantitas
continuè augetur plus, quàm ad duplum, vel
ſaltem ad duplum, donec perueniat ad lon
gè maiorem quantitatem alia, vtpote cen
tuplo maiorem, & tamen antequam perue
niat ad illam extremam quantitatem, nun
quam fit æqualis, aut maior illa minore
quantitate. Et hoc videtur impoſſibile dua
bus de cauſis. Prima, quoniam oporteret, vt
in vltimo argumento augeretur non æquali
ter, id eſt ad duplum, ſed magis, quàm cen
tuplo. Secunda, quia cùm quantitas illa mi
nor non poſſet excedere minimam illam aliam
maiore magnitudine, quàm ipſa ſit, oportet
vt illa minima ad duplum creſcente tandem
ſuperet hanc quantitatem, & tamen non ſu
perat. Imò ſequitur maius miraculum, & eſt
quòd accipio duas quantitates, quæ parum
magnitudine diſtant, & tamen maiore per
petuò ad duplum aucta vſque infinitum, &
maiore ſemper diuiſa per medium in inſini
tum, illa minor aucta nunquam excedet ali
quam partem huius maioris per medium di
uiſæ. Oſtendo autem omnia hæc demonſtra
tione vna. Capio exiguum aliquem angu
lum, qui ſit K, rectilineum tamen, quem con
ſtat in infinitum per æqualia diuidi poſſe, &
hoc facilè fit ſemper magis producendo la
tera, vt acutior per diuiſionem continuam
fiat angulus: nam baſis eo ſemper maior fiet,
ideòque baſes angulorum poterunt ad ean
dem peruenire magnitudinem: & tunc ducta
linea ex loco diuiſionis baſis ad angulum, ſi
baſis erit per æqualia diuiſa, erit etiam an
gulus. Inde capio tres circulos AB, AC, AD
in continua proportione quacunque volue
ris, ſe contangentes in puncto A, & ex de
monſtratis in 3. Element. ab Euclide illo
rum centra erunt in vna diametro, quæ ſit
AEFG, & tunc certum eſt, quòd angulus B
AD eſt maior angulo BAC & CAD ſeor
ſum ſumpto: nam totum eſt maius ſua parte:
vel igitur angulus BAC eſt æqualis angulo
CAD, & tunc angulus BAD erit duplus an
gulo B A C: vel angulus B A C eſt maior
CAD: eritque angulus BAD plus, quam du
plua angulo CAD. Vel ſi ponatur angulus
C A D, maior angulo BAC, erit angulus
BAD, maior duplo anguli B A C. Conſtat
igitur quod neceſſarium eſt, quòd angulus
BAD ſit duplus, aut duplo maior altero an
gulorum BAC vel CAD. Sit igitur duplus
vel maior duplo, gratia exempli, angulo
BAC (nam hoc eſt verum ) tunc capio duos
angulos BAC & K: dico igitur quòd ſemper
duplicato angulo BAC, & diuiſo angulo K
quouſque velis, etiamſi in infinitum proce
das, nunquam tantùm BAC excreſcere po
terit, vt minimam partem anguli K vel
æquet, vel ſuperet, cum tamen differentia il
lorum angulorum minima ſit cùm iam an
guli ipſi minimi ſint, vtpote pars milleſima
K. Nam inſcriptis circulis ſemper eadem ra
tione continua minoribus, quam DA ſe ha
bet ad BA, duplicabitur interior angulus,
qui fiet ex circumferentiæ parte conuexa in
terioris cum concaua circuli AB periferiæ,
& hoc donec perueniat ad anguli eius ma
gnitudinem, qui periferia continetur duo
bus rectis, ſolùm eò minorem, quò ſunt duo
anguli contactus: augeatur enim quantum
libet circuli interioris paruitate, & ducatur
contingens A H maiorem circulum, quæ
etiam neceſſariò continget minorem, quia
vt demonſtratum eſt, diameter circuli maio
ris eſt idem cum diametro minoris. Si igitur
fingamus AH eſſe latus partis vnius anguli
K quantumcunque minimæ, reliquum latus
neceſſariò cadet infra periferiam circuli mi
noris, aliter inter contingentem AH, & cir
culum minorem recta cadere poſſet, contra
demonſtrata ab Euclide in 3. libro. Igitur ſi
recta cadit infra periferiam circuli minoris
fiet angulus contactus circulorum pars an
anguli à rectis contenti: ergo cùm pars
ralogiſmi eſt falſi experimentum in conclu
ſione vel mediis, aut deprehenſio alicuius de
fectus ex his dictis. Sed maior parologiſmus
ac difficilior oritur in diuerſo genere: velut
capio circulum ABC, & ducta CDA per
centrum, & CE CK, CB æqualiter altera ab
altera diſtantibus, itemque CG ab altera parte
tunc anguli CBL, CKL, CEL, CAL perife
ria, & recta contenti ſunt acuti: quod facilè
demonſtratur ductis gratia exempli D E ex
centro, & EF contingente, tunc FED rectus
eſt: ſed CEL minor DEF, angulo DEC, &
angulo contactus FEK, igitur CEL eſt acu
tus: ſimiliter CAL acutus eſt, ex demonſtra
tis ab Euclide in 3 libro, & tamen maior
CEL, vt CEL maior CKL, & CKL eſt ma
ior CBL: quod patet, quia deficiunt omnes
angulis contactus, qui ſunt æquales, vt à no
bis demonſtratum eſt in tertio noſtrorum
Elementorum: & deficiunt, etiam angulo re
ctilineo contento à ſemidiametro, & lineis
CB, CK, CE, qui vt magis remouentur di
ctæ lineæ à linea CA, ſemper ſunt maiores:
ergo ex communi animi ſententia angulus
CBL minor eſt angulo CKL, & angulus
CKL angulo CEL, & CEL angulo CAL.
Sed angulus CGA maior eſt recto: ducta
enim GH contangente, & DG ſemidiame
tro, fiet DGH rectus ex demonſtratis ab
Euclide (vt dixi) in tertio Elementorum, &
angulus DGC eſt maior angulo contactus,
vt ibi infertur pro corollario: igitur detra
cto ab angulo DGH recto angulo contactus
107[Figure 107]& addito DGC, cum fiat angulus CGL
erit ex communi animi ſententia CGL ob
tuſus. Igitur linea CB tranſeunte ſenſim ex
B vſque ad G, anguli periferia, & recta con
tenti ſemper augebuntur, & ſenſim & per
omne genus magnitudinis vſque ad obtu
ſum, vt patet: & tamen nunquam fiet rectus,
vt demonſtratum eſt, quia in A, & ante A
ſemper eſt acutus, poſt A obtuſus: igitur pa
tet intentum. Maior hæc fit paralogiſmus in
diuerſo genere, & talis eſt. Aliqua quantitas
continuè augetur plus, quàm ad duplum, vel
ſaltem ad duplum, donec perueniat ad lon
gè maiorem quantitatem alia, vtpote cen
tuplo maiorem, & tamen antequam perue
niat ad illam extremam quantitatem, nun
quam fit æqualis, aut maior illa minore
quantitate. Et hoc videtur impoſſibile dua
bus de cauſis. Prima, quoniam oporteret, vt
in vltimo argumento augeretur non æquali
ter, id eſt ad duplum, ſed magis, quàm cen
tuplo. Secunda, quia cùm quantitas illa mi
nor non poſſet excedere minimam illam aliam
maiore magnitudine, quàm ipſa ſit, oportet
vt illa minima ad duplum creſcente tandem
ſuperet hanc quantitatem, & tamen non ſu
perat. Imò ſequitur maius miraculum, & eſt
quòd accipio duas quantitates, quæ parum
magnitudine diſtant, & tamen maiore per
petuò ad duplum aucta vſque infinitum, &
maiore ſemper diuiſa per medium in inſini
tum, illa minor aucta nunquam excedet ali
quam partem huius maioris per medium di
uiſæ. Oſtendo autem omnia hæc demonſtra
tione vna. Capio exiguum aliquem angu
lum, qui ſit K, rectilineum tamen, quem con
ſtat in infinitum per æqualia diuidi poſſe, &
hoc facilè fit ſemper magis producendo la
tera, vt acutior per diuiſionem continuam
fiat angulus: nam baſis eo ſemper maior fiet,
ideòque baſes angulorum poterunt ad ean
dem peruenire magnitudinem: & tunc ducta
linea ex loco diuiſionis baſis ad angulum, ſi
baſis erit per æqualia diuiſa, erit etiam an
gulus. Inde capio tres circulos AB, AC, AD
in continua proportione quacunque volue
ris, ſe contangentes in puncto A, & ex de
monſtratis in 3. Element. ab Euclide illo
rum centra erunt in vna diametro, quæ ſit
AEFG, & tunc certum eſt, quòd angulus B
AD eſt maior angulo BAC & CAD ſeor
ſum ſumpto: nam totum eſt maius ſua parte:
vel igitur angulus BAC eſt æqualis angulo
CAD, & tunc angulus BAD erit duplus an
gulo B A C: vel angulus B A C eſt maior
CAD: eritque angulus BAD plus, quam du
plua angulo CAD. Vel ſi ponatur angulus
C A D, maior angulo BAC, erit angulus
BAD, maior duplo anguli B A C. Conſtat
igitur quod neceſſarium eſt, quòd angulus
BAD ſit duplus, aut duplo maior altero an
gulorum BAC vel CAD. Sit igitur duplus
vel maior duplo, gratia exempli, angulo
BAC (nam hoc eſt verum ) tunc capio duos
angulos BAC & K: dico igitur quòd ſemper
duplicato angulo BAC, & diuiſo angulo K
quouſque velis, etiamſi in infinitum proce
das, nunquam tantùm BAC excreſcere po
terit, vt minimam partem anguli K vel
æquet, vel ſuperet, cum tamen differentia il
lorum angulorum minima ſit cùm iam an
guli ipſi minimi ſint, vtpote pars milleſima
K. Nam inſcriptis circulis ſemper eadem ra
tione continua minoribus, quam DA ſe ha
bet ad BA, duplicabitur interior angulus,
qui fiet ex circumferentiæ parte conuexa in
terioris cum concaua circuli AB periferiæ,
& hoc donec perueniat ad anguli eius ma
gnitudinem, qui periferia continetur duo
bus rectis, ſolùm eò minorem, quò ſunt duo
anguli contactus: augeatur enim quantum
libet circuli interioris paruitate, & ducatur
contingens A H maiorem circulum, quæ
etiam neceſſariò continget minorem, quia
vt demonſtratum eſt, diameter circuli maio
ris eſt idem cum diametro minoris. Si igitur
fingamus AH eſſe latus partis vnius anguli
K quantumcunque minimæ, reliquum latus
neceſſariò cadet infra periferiam circuli mi
noris, aliter inter contingentem AH, & cir
culum minorem recta cadere poſſet, contra
demonſtrata ab Euclide in 3. libro. Igitur ſi
recta cadit infra periferiam circuli minoris
fiet angulus contactus circulorum pars an
anguli à rectis contenti: ergo cùm pars