1minor ſit toto, erit angulus contactuum quan
tumcunque magnus minor angulo rectili
neo quantumcunque paruo: quod erat de
monſtrandum. Igitur primi argumenti diſ
ſolutio eſſe videtur, quòd angulus ille non
æqualiter augetur eo motu linea CB, ſed vt
magis proximus fit ipſi A, eò maius fit ar
gumentum, ideò ſtatim tranſit ab acuto in
obtuſum abſque recto. Demonſtratio huius
eſt, quòd in proceſſu primæ medietatis ſe
micirculi à C vſque ad M. ſolùm acquiritur
angulus C M L, & in proceſſu alterius
medietatis ſemicirculi acquiritur angulus
CMA, ab M vſque ad A, ſed angulus CMA
eſt maior angulo C ML in angulo CM A
à rectis contento, qui eſt dimidium recti:
igitur multò magis augetur angulus recta &
circumferentia contentus in medietate ſemi
circuli MA, quam CM. Eadem ratione de
partibus circumferentiæ M A inuicem col
latis. Igitur incrementum anguli CEK, ſu
per CKB maius eſt incremento CKB ſuper
CBL: & incrementum CAE ſuper CEK,
maius eſt incremento CEK ſuper CKB: igi
tur etiam quòd linea tranſiret per omnia
media ex B in K, non tamen ex K in E, &
multò minùs ex E in A, ideóque nec ex A
in G Apparet igitur primi paralogiſmi diſ
ſolutio. Sed ſecundus non eadem ratio
ne diſſoluitur, verùm multi ſunt modi de
monſtrationum, & longè plures aſſumptio
num. In multis enim profuit ſcire, quòd ita
eſſet, vt in ſolidi cubi numeri generatio
ne paulò pòſt demonſtrauimus. Et quod ma
ximum productum ex parte cuiuſlibet quan
titatis in reſidui quadratum eſt, cum tertia
pars quantitatis in reſidui quadratum duci
tur: hoc enim in Geometricorum elemen
torum duodecimo libro demonſtratur à no
bis. Verùm id antiqui latêre voluerunt, vt
magis admiratione digni viderentur. Quæ
enim nobis non parùm profuere, etiam illis
præſidio fuerunt: quandoquidem nos in plu
ribus principia cum tota arte inuenerimus.
Quod etiam feciſſe Apollonium, & Archi
medem arbitror, non tamen Euclidem, ne
que Philoſophorum quenquam aliorum:
nam demonſtratis, ab aliis adiuti ſunt. Ve
luti penultimam primi elementorum refe
runt inuentum eſſe Pythagoræ Samij, ob
cuius inuentionem lætatum adeò tradunt,
vt bouem immolauerit: quod tamen vix cre
di poteſt, quandoquidem ac omni cæde ani
malium abſtinuerit Pythagoras. Sed certum
eſt, ex demonſtratione Architæ Tarentini
illius diſcipuli de inuentione duarum linea
rum inter alias duas continua proportione
iunctarum, ante tempora Euclidis Megaren
ſis geometrica inuenta, & præſtantiſſima
floruiſſe. Neque tamen parum fuit, Eucli
dem in eum ordinem adeò exquiſitum cun
cta redegiſſe, & quæ defecerant adieciſſe.
tumcunque magnus minor angulo rectili
neo quantumcunque paruo: quod erat de
monſtrandum. Igitur primi argumenti diſ
ſolutio eſſe videtur, quòd angulus ille non
æqualiter augetur eo motu linea CB, ſed vt
magis proximus fit ipſi A, eò maius fit ar
gumentum, ideò ſtatim tranſit ab acuto in
obtuſum abſque recto. Demonſtratio huius
eſt, quòd in proceſſu primæ medietatis ſe
micirculi à C vſque ad M. ſolùm acquiritur
angulus C M L, & in proceſſu alterius
medietatis ſemicirculi acquiritur angulus
CMA, ab M vſque ad A, ſed angulus CMA
eſt maior angulo C ML in angulo CM A
à rectis contento, qui eſt dimidium recti:
igitur multò magis augetur angulus recta &
circumferentia contentus in medietate ſemi
circuli MA, quam CM. Eadem ratione de
partibus circumferentiæ M A inuicem col
latis. Igitur incrementum anguli CEK, ſu
per CKB maius eſt incremento CKB ſuper
CBL: & incrementum CAE ſuper CEK,
maius eſt incremento CEK ſuper CKB: igi
tur etiam quòd linea tranſiret per omnia
media ex B in K, non tamen ex K in E, &
multò minùs ex E in A, ideóque nec ex A
in G Apparet igitur primi paralogiſmi diſ
ſolutio. Sed ſecundus non eadem ratio
ne diſſoluitur, verùm multi ſunt modi de
monſtrationum, & longè plures aſſumptio
num. In multis enim profuit ſcire, quòd ita
eſſet, vt in ſolidi cubi numeri generatio
ne paulò pòſt demonſtrauimus. Et quod ma
ximum productum ex parte cuiuſlibet quan
titatis in reſidui quadratum eſt, cum tertia
pars quantitatis in reſidui quadratum duci
tur: hoc enim in Geometricorum elemen
torum duodecimo libro demonſtratur à no
bis. Verùm id antiqui latêre voluerunt, vt
magis admiratione digni viderentur. Quæ
enim nobis non parùm profuere, etiam illis
præſidio fuerunt: quandoquidem nos in plu
ribus principia cum tota arte inuenerimus.
Quod etiam feciſſe Apollonium, & Archi
medem arbitror, non tamen Euclidem, ne
que Philoſophorum quenquam aliorum:
nam demonſtratis, ab aliis adiuti ſunt. Ve
luti penultimam primi elementorum refe
runt inuentum eſſe Pythagoræ Samij, ob
cuius inuentionem lætatum adeò tradunt,
vt bouem immolauerit: quod tamen vix cre
di poteſt, quandoquidem ac omni cæde ani
malium abſtinuerit Pythagoras. Sed certum
eſt, ex demonſtratione Architæ Tarentini
illius diſcipuli de inuentione duarum linea
rum inter alias duas continua proportione
iunctarum, ante tempora Euclidis Megaren
ſis geometrica inuenta, & præſtantiſſima
floruiſſe. Neque tamen parum fuit, Eucli
dem in eum ordinem adeò exquiſitum cun
cta redegiſſe, & quæ defecerant adieciſſe.
Duæ quan
titates parum
magnitudi
ne differen
tes, quarum
maiore ſem
per per me
dium diuiſa,
& minore
ſemper du
plicata, mi
nor nunquam
maiorem ex
cedere poteſt
aut æquare.
titates parum
magnitudi
ne differen
tes, quarum
maiore ſem
per per me
dium diuiſa,
& minore
ſemper du
plicata, mi
nor nunquam
maiorem ex
cedere poteſt
aut æquare.
Sed vbi finis non adeò certus eſt, diffici
lior profectò eſt inuenio. Quorundam qui
dem difficillima prorſus, veluti, quæ maxi
ma poſſit eſſe proportio dupli tertiæ quan
titatis ad aggregatum primæ & quartæ con
tinuæ proportionis. Nam ea conſtant in mi
nore proportione ſeſquiquarta, & maiore
ſeſquiquinta. Si enim capiamus 64. & 80.
& 100. & 125. duplum tertiæ quantitatis eſt
200. aggregatum primæ, & quartæ 189. Pro
portio autem 369/341 minor eſt 299/189. Eſt au
tem 360 duplum tertiæ quantitatis, & 341.
eſt aggregatum primæ & quartæ in propor
tione ſeſquiquinta, vt ſint quantitates ipſæ
125. 150. 180. 216. Hoc autem demonſtra
ri poteſt, ducto 360. in 189. fit 68. M 40.
Eſt autem hoc minùs, quàm 68. M. 200.
In talibus igitur inuenire demonſtratione,
difficillimum eſt: quantò magis vbi duarum
quantitatum diuerſorum generum, quæ ad
æqualitatem nullam perueniunt, in genere
perfecto fit comparatio. Nam paraboles ad
trigonum interiorem exquiſita eſt ratio epi
trita, vt ab Archimede demonſtratur, quod
in quinto priuilegio à nobis expoſito ſupe
rius continetur. Hoc igitur principium fuit,
quo Archimedes proportionem, & menſu
ram parabolis potuerit inuenire. Liquet ex
illius demonſtratione, quòd ſi proportio hæc
in abſurdam aliquam, & quæ nullo modo
numeris deſcribi poſſet quantitatem incidiſ
ſet, Archimedem illam non potuiſſe demon
ſtrare. Ita & ratio ſphæræ ad conum dupla
apud illum: & rurſus apud Euclidem cylin
dri ad conum tripla exquiſita. Quibus inuen
tis, facilè fuit etiam partium rationem inui
cem declaraſſe. Nam quæ inuicem non iun
guntur rationali proportione, medio dua
rum proportionem innoteſcere conſueuerunt.
lior profectò eſt inuenio. Quorundam qui
dem difficillima prorſus, veluti, quæ maxi
ma poſſit eſſe proportio dupli tertiæ quan
titatis ad aggregatum primæ & quartæ con
tinuæ proportionis. Nam ea conſtant in mi
nore proportione ſeſquiquarta, & maiore
ſeſquiquinta. Si enim capiamus 64. & 80.
& 100. & 125. duplum tertiæ quantitatis eſt
200. aggregatum primæ, & quartæ 189. Pro
portio autem 369/341 minor eſt 299/189. Eſt au
tem 360 duplum tertiæ quantitatis, & 341.
eſt aggregatum primæ & quartæ in propor
tione ſeſquiquinta, vt ſint quantitates ipſæ
125. 150. 180. 216. Hoc autem demonſtra
ri poteſt, ducto 360. in 189. fit 68. M 40.
Eſt autem hoc minùs, quàm 68. M. 200.
In talibus igitur inuenire demonſtratione,
difficillimum eſt: quantò magis vbi duarum
quantitatum diuerſorum generum, quæ ad
æqualitatem nullam perueniunt, in genere
perfecto fit comparatio. Nam paraboles ad
trigonum interiorem exquiſita eſt ratio epi
trita, vt ab Archimede demonſtratur, quod
in quinto priuilegio à nobis expoſito ſupe
rius continetur. Hoc igitur principium fuit,
quo Archimedes proportionem, & menſu
ram parabolis potuerit inuenire. Liquet ex
illius demonſtratione, quòd ſi proportio hæc
in abſurdam aliquam, & quæ nullo modo
numeris deſcribi poſſet quantitatem incidiſ
ſet, Archimedem illam non potuiſſe demon
ſtrare. Ita & ratio ſphæræ ad conum dupla
apud illum: & rurſus apud Euclidem cylin
dri ad conum tripla exquiſita. Quibus inuen
tis, facilè fuit etiam partium rationem inui
cem declaraſſe. Nam quæ inuicem non iun
guntur rationali proportione, medio dua
rum proportionem innoteſcere conſueuerunt.
Quamobrem quadratum circulo æquale
impoſſibile eſt inuenire: & qui conati ſunt,
non videntur demonſtrationes Archimedis,
aut Apollinij, aut Euclidis intellexiſſe: aut ſi
modò intellexerunt, non animaduerterunt.
Nam principium omne inuentionis à com
poſitione fit, compoſitionem ſequitur reſo
lutio. At in compoſitione notus neceſſariò
eſt finis, ob id igitur in genere diuerſarum
quantitatum finem, & rationem notam eſſe
illarum oportet. At in circuli magnitudine,
ſeu ſuperficies ac quadrati ſuperficiem refe
ratur, ſeu periferia ad diametrum, nulla per
ſe nota proportio eſt: demonſtratum enim
eſt ab Archimede, rationem periferiæ ad
diametrum minorem eſſe, quàm 22. ad 7.
maiorem verò tripla, & 10/71. Atque id eſt di
cere minorem tripla, & 19/70 maiorem tri
pla, 10/71 ſeu inter proportionem 15/4 62/97 &
15/4 61/97. Sed neque in ſuperficiebus: nam po
ſita diametro 7. erit quadratum interius
circuli 24. 1/22. Sed area circuli vt ab Archi
mede, & nobis demonſtratum eſt, fit ex di
midio diametri in dimidium periferiæ, qua
re erit 308. 1/2. Igitur proportio qualis 77.
ad 49. quare vt 11. ad 7. Verùm vt dictum
eſt periferia eſt minor 22. quantitate non
ſenſili, nec rationali: quadratum autem inte
rius non mutatur, igitur proportio circuli ad
quadratum interius inſcriptum eſt minor
aliquantò, quàm 11. ad 7. igitur abſurda, &
incognita. Conati autem ſunt antiquorum
plurimi, & alij noſtro tempore, quorum vix
eſt numerum, & nomina referre, verùm res
quæ poſſibilis non eſt, claritatem ingenij il
lorum hebetiorem videri fecit. Sed ortum
hic conatus irritus habuit ex verbis Ariſto
telis malè interpretantis. Exempli loco enim
impoſſibile eſt inuenire: & qui conati ſunt,
non videntur demonſtrationes Archimedis,
aut Apollinij, aut Euclidis intellexiſſe: aut ſi
modò intellexerunt, non animaduerterunt.
Nam principium omne inuentionis à com
poſitione fit, compoſitionem ſequitur reſo
lutio. At in compoſitione notus neceſſariò
eſt finis, ob id igitur in genere diuerſarum
quantitatum finem, & rationem notam eſſe
illarum oportet. At in circuli magnitudine,
ſeu ſuperficies ac quadrati ſuperficiem refe
ratur, ſeu periferia ad diametrum, nulla per
ſe nota proportio eſt: demonſtratum enim
eſt ab Archimede, rationem periferiæ ad
diametrum minorem eſſe, quàm 22. ad 7.
maiorem verò tripla, & 10/71. Atque id eſt di
cere minorem tripla, & 19/70 maiorem tri
pla, 10/71 ſeu inter proportionem 15/4 62/97 &
15/4 61/97. Sed neque in ſuperficiebus: nam po
ſita diametro 7. erit quadratum interius
circuli 24. 1/22. Sed area circuli vt ab Archi
mede, & nobis demonſtratum eſt, fit ex di
midio diametri in dimidium periferiæ, qua
re erit 308. 1/2. Igitur proportio qualis 77.
ad 49. quare vt 11. ad 7. Verùm vt dictum
eſt periferia eſt minor 22. quantitate non
ſenſili, nec rationali: quadratum autem inte
rius non mutatur, igitur proportio circuli ad
quadratum interius inſcriptum eſt minor
aliquantò, quàm 11. ad 7. igitur abſurda, &
incognita. Conati autem ſunt antiquorum
plurimi, & alij noſtro tempore, quorum vix
eſt numerum, & nomina referre, verùm res
quæ poſſibilis non eſt, claritatem ingenij il
lorum hebetiorem videri fecit. Sed ortum
hic conatus irritus habuit ex verbis Ariſto
telis malè interpretantis. Exempli loco enim